Matematika, kaip viena seniausių mokslo šakų, apima platų spektrą sričių - nuo elementariosios aritmetikos iki teorinių skaičių aibių tyrimų. Šis straipsnis skirtas panagrinėti priklausomybės ženklą matematikoje, jo atsiradimą, raidą ir reikšmę įvairiose matematinėse disciplinose.
Aritmetikos pagrindai
Aritmetika, kilusi iš graikų kalbos žodžio "arithmos" (skaičius), yra matematinė disciplina, nagrinėjanti skaičius ir jų savybes. Skiriama elementarioji aritmetika ir teorinė aritmetika.
Elementarioji aritmetika formuoja natūraliojo skaičiaus sąvoką (1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 ir t. t.) be formalaus, griežto matematinio apibrėžimo. Ji tiria natūraliuosius (sveikuosius teigiamus) ir teigiamus racionaliuosius (trupmeninius) skaičius. Nagrinėja natūraliųjų skaičių užrašymo būdus (skaičiavimo sistemos), jų veiksmus (sudėtį, atimtį, dalybą, daugybą), šių veiksmų atlikimo eilę ir būdus, pagrįstus kai kuriomis individualiomis skaičių savybėmis. Toliau skaičiaus sąvoka išplečiama - skaičiais laikomi ir natūraliųjų skaičių santykiai (trupmenos). Naujoje skaičių aibėje apibrėžiami sudėties, daugybos, atimties, dalybos veiksmai, tiriami jų atlikimo būdai, savybės.
Atskirai nagrinėjamos dešimtainės trupmenos, veiksmai su jomis, paprastųjų trupmenų vertimas dešimtainėmis ir atvirkščiai. Nustatoma, kokios paprastosios trupmenos paverčiamos baigtinėmis dešimtainėmis ir kokios - begalinėmis periodinėmis dešimtainėmis. Elementarioji aritmetika nagrinėja skaičių apvalinimą, veiksmus su suapvalintais skaičiais, vardinius skaičius, procentus, jų uždavinius ir paprasčiausias skaičių priklausomybes - tiesioginį ir atvirkštinį proporcingumą, proporcijas ir jų savybes. Skaičių dalumo požymiai, dalumo savybės, skaičių skaidymas pirminiais daugikliais, bendrojo didžiausiojo daliklio ir bendrojo mažiausiojo kartotinio radimas nagrinėjami t. p. aritmetikoje, nors tai jau elementariosios skaičių teorijos dalykai. Elementarioji aritmetika glaudžiai siejasi su skaičių teorija ir algebra.
Tuo tarpu teorinė aritmetika tiria natūraliuosius, sveikuosius, racionaliuosius, realiuosius, kompleksinius skaičius, kvaternionus ir šių skaičių aibių savybes. Naudodamasi matematikos (aibių teorijos) sąvokomis ji aksiomomis griežtai matematiškai apibrėžia atitinkamas skaičių aibes, jų elementų pagrindinius sąryšius (lygybės, tvarkos, tolydumo), pagrindinius veiksmus (sudėtį ir daugybą) ir toliau griežtai logiškai įrodo visas šių veiksmų savybes, kurios elementariojoje aritmetikoje laikomos akivaizdžiomis. Be to, įrodo atimties (išskyrus natūraliųjų skaičių aibę) ir dalybos iš nelygaus nuliui skaičiaus (išskyrus sveikųjų skaičių aibę) galimumą. Teorinė aritmetika yra aksiominė matematinė teorija. Naudojant pilnąją matematinę indukciją įrodoma, kad sudėti ir dauginti galima bet kokius natūraliuosius skaičius.
Taip pat skaitykite: Priklausomybės ligos: situacija Lietuvoje
Pirmosios aritmetikos sąvokos atsirado dar priešistoriniais laikais iš praktinės žmogaus veiklos poreikių. Formavosi sveikųjų teigiamųjų skaičių sąvokos: vieneto, dvejeto. 3 kurį laiką buvo didžiausias skaičius. Vėliau buvo skaičiuojama penketais, dešimtimis, dvidešimtimis, tuzinais ir kitaip. Taip kūrėsi skaičiavimo sistemos, skaičių pavadinimai, ženklai (skaitmenys). Senovės Egipte, Kinijoje, Indijoje, Mesopotamijoje, inkų ir actekų žymėti ir žinomi pagrindiniai aritmetikos veiksmai. Egipte buvo vartojama dešimtainė skaičiavimo sistema (apie 3600 pr. Kr.), žinomi visi veiksmai su skaičiais, kai kurios trupmenos ir veiksmai su jomis (apie 2000 pr. Kr.).
Aritmetika tobulėjo senovės Graikijoje (nuo 8 a. pr. Kr.). Skaičiavimo mokslas čia vadintas logistika. Graikų matematikai Euklidas, Archimedas, Pitagoras ir kiti (4-3 a. pr. Kr.) susistemino ir papildė padrikas aritmetikos žinias, pavertė ją mokslu. Skaičių dalumo savybės, iracionalieji skaičiai, natūraliųjų ir pirminių skaičių aibių nepabaigiamumas ir kita išdėstyta Euklido Pradmenyse. 7-11 a. aritmetikos mokslą plėtojo arabai. 10-13 a. europiečiai iš arabų veikalų sužinojo apie perimtus iš indų skaitmenis (iš jų atsirado dabartiniai vadinami arabiškieji skaitmenys) ir pozicinę dešimtainę skaičiavimo sistemą. 13 a. pradžioje L. Pisano parašė išsamų aritmetikos traktatą. Dabar vartojami aritmetikos veiksmų ženklai atsirado 15-17 amžiuje. Skaičių sistemų griežta loginė analizė buvo baigta 19 amžiuje. Teorinės aritmetikos pradininkai - Hermannas Güntheris Grassmannas (Vokietija) ir G. Peano.
Lietuvoje aritmetika, kaip elementariosios matematikos dalis, pradėta dėstyti Vilniaus universitete nuo pat jo įkūrimo. Trumpus aritmetikos vadovėlius lotynų kalba parašė universiteto profesoriai T. Žebrauskas, M. Počobutas. Vadovėlių lietuvių kalba išleido P. Matulionis ir J. Spudulis (1885 Tilžė), P. Vileišis (1886 Tilžė), S. Gimžauskas (1888 Tilžė), S.
Matematiniai simboliai
Matematikoje simboliai yra esminė kalbos dalis, leidžianti aiškiai ir glaustai išreikšti sudėtingas sąvokas ir idėjas. Simboliai (gr. symbolon ~ 'sumesti kartu') - daiktiniai, vaizdiniai ar garsiniai ženklai, perteikiantys kokią nors sąvoką ar idėją, turintis tradicinę reikšmę. Pirmą kartą panaudotas homeriškame himne, skirtame Hermiui. Simboliai naudojami beveik visur aplinkui - jų galime pamatyti eidami gatve, sutikti literatūros šaltiniuose, kasdienėje kalboje ir t.t. Dažniausiai net nepastebima, kad tai, ką naudojame yra simbolis. Pvz., žodžiai tam tikra prasme yra simboliai. Matematikoje taip pat naudojami simboliai - +, = ir kt.
Procento ženklas (%)
Taip pat skaitykite: Priklausomybės ligų gydymas Lietuvoje
Procento ženklo (%) kilmė siejama su lotyniška fraze per centum („iš šimto“). Per šimtmečius jis iš sutrumpintos frazės virto savarankišku tipografiniu ženklu. Ženklas fundamentaliai svarbus matematikoje, finansuose ir statistikoje: juo žymimos santykinės vertės, augimo rodikliai, nuolaidos ar pasiskirstymai, todėl reikia sklandžios prieigos. Pagal rašybos rekomendacijas skaičius nuo procento ženklo atskiriamas plonu, neperskeliamu tarpu (pvz., 10 %).
Grotažymė (#)
Grotažymė (#), „Unicode“ pavadinimu NUMBER SIGN (U+0023), tradiciškai žymi numeraciją (pvz., #1).
Kiti simboliai
Matematikoje naudojama daugybė kitų simbolių, kurie turi specifines reikšmes ir funkcijas. Pavyzdžiui:
- ∞ - begalybės simbolis, naudojamas žymėti be galo didelius arba mažus dydžius.
- √ - šaknies simbolis, naudojamas žymėti skaičiaus šaknį.
- Σ - sumos simbolis, naudojamas žymėti skaičių sumą.
- ∫ - integralo simbolis, naudojamas žymėti funkcijos integralą.
Taip pat skaitykite: Kontaktai su priklausomybės ligų specialistų asociacija
Matematika mokykloje
Matematikos dalykui mokykloje tenka išskirtinis vaidmuo, ugdant mokinių skaičiavimo, abstrakčiojo, loginio mąstymo, vaizdinio, erdvinio mąstymo, duomenų tyrybos ir interpretavimo formalizavimo, abstrahavimo gebėjimus. Mokydamiesi matematikos, mokiniai kaupia žinias apie matematines sąvokas ir jų ryšius, mokosi sklandžiai ir tiksliai atlikti procedūras, ugdosi supratimą apie tai, kaip yra nustatomi bendrumai ir skirtumai, kuriamos matematinių sąvokų struktūros. Mokiniai įtraukiami į įvairaus konteksto probleminių situacijų tyrinėjimą.
Mokoma(si) įvairias situacijas modeliuoti, suformuluoti kaip matematines problemas, jas spręsti ir interpretuoti gautus rezultatus. Tvirtos žinios ir nuolat stiprinami pagrindimo, argumentavimo ir matematinio komunikavimo gebėjimai suteikia galimybę mokiniams kritiškai vertinti, kūrybiškai veikti, efektyviai komunikuoti įvairiuose mokiniui aktualiuose, prasminguose ir suprantamuose kontekstuose. Matematikos bendrosios programos paskirtis. Mokant matematikos, siekiama ne tik matematikos kaip dalyko tikslų, bet ir bendrųjų ugdymo tikslų, ypač metakognityviojo mąstymo, bendravimo ir bendradarbiavimo gebėjimų ugdymo srityse.
Programoje išskirtos trys pasiekimų sritys. Išskiriant pasiekimų sritis ir pasiekimus, vadovautasi kompetencijų ir jų sandų raiškos aprašais, siekta dermės su kitų dalykų bendrosiose programose išskirtomis pasiekimų sritimis ir pasiekimais. Siekiant vaizdžiai parodyti pagrindinio lygio pasiekimų augimą kas dvejus metus, Programoje pateikiama pasiekimų raidos lentelė. Mokymo(si) turinyje išskirtos turinio sritys ir temos. Tema „Algoritmai ir programavimas“ 1-4 klasėse per matematikos pamokas nagrinėjama tik tuomet, kai mokiniams, besimokantiems pagal pradinio ugdymo programą, nėra atskiros informatikos pamokos.
Uždaviniai pagal ugdymo lygius
- Pradinio ugdymo uždaviniai.
- Pagrindinio ugdymo uždaviniai.
- Vidurinio ugdymo uždaviniai.
Įgyvendinant Programą ugdomos šios kompetencijos: pažinimo, kūrybiškumo, komunikavimo, skaitmeninė, pilietiškumo, socialinė, emocinė ir sveikos gyvensenos, kultūrinė. Jos pateiktos pagal kompetencijos ugdymo intensyvumą. Nors šioje Programoje plačiausiai aprašomas mokinių pažinimo kompetencijos ugdymas, tačiau matematikos mokymasis gali reikšmingai prisidėti ir prie kitų kompetencijų ugdymo.
Supratimas apie matematiką
Siekiama, kad mokiniai įgytų gilų, konceptualų supratimą apie matematikos prigimtį ir jos vaidmenį šiuolaikiniame pasaulyje, taip pat pajustų jos universalumą. Gilus supratimas pasiekiamas, kai mokiniams sudaromos galimybės ne tik gerai suprasti matematikos mokymo(si) turinyje numatytas faktines žinias ir išmokti sklandžiai atlikti matematines procedūras. Ypač daug dėmesio turi būti skiriama mokinių konceptualioms ir metakognityvinėms žinioms, taip pat matematinio samprotavimo (indukcinio ir loginio-dedukcinio mąstymo) gebėjimams lavinti.
Perprasti ir įvaldyti matematikai būdingą simbolinę kalbą mokiniams padeda situacijos, kuriose atsiveria daug galimybių matematines sąvokas ir idėjas suprasti, taikyti, kurti, naudojantis įvairiomis priemonėmis (fizinėmis ir skaitmeninėmis) bei išreiškiant įvairiomis formomis (tekstu, vaizdu, simboliais; žodžiu, raštu). Matematinė kalba ugdoma, mokiniams stebint, apibūdinant matematinius modelius ir objektus, tyrinėjant gamtos, socialinius reiškinius, meno, literatūros kūrinius ir kt.
Mokiniai, atlikdami įvairias matematines užduotis, spręsdami matematines problemas, dalyvaudami projektinėse veiklose, turėtų tikslingai, kūrybiškai, saugiai ir etiškai naudotis skaitmeninėmis priemonėmis bei įrankiais, skirtais braižyti, modeliuoti ar projektuoti, duomenims apdoroti ir pateikti, ieškoti informacijos, rengti pranešimus, bendrauti ir bendradarbiauti. Atviros, kompleksiškesnės, abstraktesnio pobūdžio užduotys skatina mokinių nestandartinį, divergentinį mąstymą (kūrybinio mąstymo komponentas), o jis, savo ruožtu, yra problemų sprendimo pagrindas. Atliekant tokias užduotis, tenka ilgiau mąstyti, įvertinti daugiau aplinkybių ir sąlygų, generuoti ir apmąstyti daugiau idėjų. Mokiniai turėtų įgyti patirties mąstyti „iš savęs“, kurti savas strategijas ir būdus užduotims atlikti.
Mokiniai turėtų dalyvauti projektinėse veiklose, kuriomis siekiama padėti bendruomenei, visuomenei rasti priimtiną, aktualų sprendimą. Pavyzdžiui, jie gali dalyvauti priimant finansinius sprendimus, svarstyti apie žiniasklaidoje pateikiamos matematinės informacijos patikimumą ir pan. Gilus nagrinėjamų matematinių sąvokų ir procedūrų supratimas, tobulėjantys indukcinio ir loginio - dedukcinio mąstymo gebėjimai mokiniams suteikia galimybę ir skatina vis aktyviau įsitraukti į jiems aktualių ir prasmingų realaus gyvenimo problemų sprendimą.
Kritiškai vertindami įvairią skaitinę, grafinę informaciją, rinkdami ir analizuodami duomenis apie juos supančią aplinką, dalyvaudami diskusijose apie matematikos vaidmenį, sprendžiant įvairias gyvenimiškas problemas, mokiniai puoselėja ir tokias asmenines bei tarpasmenines savybes kaip efektyvus savo veiklos planavimas, organizavimas ir valdymas, gebėjimas prisiimti atsakomybę, dirbant individualiai ir su kitais.
Pasiekimų sritys ir lygiai
Pasiekimų sritys žymimos raide (pavyzdžiui, A, B), raide ir skaičiumi (pavyzdžiui, A1, A2) žymimas tos pasiekimų srities pasiekimas. Lentelėse kiekvienam klasių koncentrui pasiekimai aprašomi keturiais pasiekimų lygiais: slenkstinis, patenkinamas, pagrindinis ir aukštesnysis. Gilus suvokimas apima ne tik pagrindinių matematikos sąvokų ir žymenų supratimą, procedūrinius įgūdžius, bet ir įvairių sprendimo metodų taikymo patirtį, leidžiančią mokiniui žengti tolesnius mąstymo žingsnius gebėjimų piramidėje. Tik mokėdami paaiškinti ir pagrįsti atliekamas procedūras, mokiniai įgauna tvirtą pamatą matematinio samprotavimo gebėjimams ugdytis. Matematinio samprotavimo terminas apima ir indukcinius, ir dedukcinius mąstymo procesus. Indukciniu būdu rasti argumentai padeda apibendrinti atskirus atvejus, pastebėti už jų slypinčius modelius ir taisykles, kelti hipotezes. Samprotaudami dedukciniu būdu ne tik įrodome teiginių teisingumą, bet ir sudarome prielaidas įgyti naujų matematikos žinių.
Pavyzdžiai
A1. Natūralieji ir sveikieji skaičiai. 1-2 klasių koncentras. Skaičiai nuo 0 iki 100. Mokomasi skaičiuoti pirmyn ir atgal nuo bet kurio skaičiaus, susieti objektų kiekį su skaičiumi. Aptariama skaičiaus ir skaitmens sąvokos, skaičių rašymo dešimtainėje pozicinėje skaičiavimo sistemoje ypatumai. Tyrinėjama, kaip sudaryta 100 skaičių lentelė, kaip skaičių tiesėje galima pažymėti skaičius, pradedant nuo nulio. Pasitelkiant įvairius praktinius modelius, mokomasi skaičius perskaityti, užrašyti skaitmenimis, skyrių suma, palyginti. Sudėtis ir atimtis. Sudėties ir atimties veiksmai aiškinami kaip skaičiavimas pirmyn ir atgal, aptariamas šių veiksmų ryšys.
A1. Natūralieji ir sveikieji skaičiai. 1-2 klasių koncentras. Skaičiai nuo 0 iki 1 000. Nagrinėjami skaičiai iki 1 000, skaičiuojama pirmyn ir atgal nuo bet kurio skaičiaus. Išsiaiškinama, kad triženklio skaičiaus šimtai, dešimtys ir vienetai užrašomi skaitmenimis.
III-IV gimnazijos klasių koncentras. Šaknys. Apibendrinama laipsnio sąvoka; apibrėžiama lygybė (a^ \frac m n= \sqrt [n] {a^m}). Mokomasi ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais. Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės: (a^n \cdot a^m=a^{n + m}), (a^n ∶a^m=a^{n - m}), ((a^m )^n=a^{m \cdot n}), ((a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m) ((a \cdot b)^m=a^m \cdot b^m), ((a∶b)^m=a^m: b^m).
III-IV gimnazijos klasių koncentras. A2. Paprastais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia analogijas, konstruoja elementų sekas pagal nurodytą arba savo sugalvotą taisyklę, grupuoja objektus pagal du požymius. Nesudėtingais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia analogijas, konstruoja elementų sekas pagal nurodytą arba savo sugalvotą taisyklę, grupuoja objektus pagal du požymius. Konsultuodamasis paprasčiausiais atvejais, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba paprastais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius. Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius. Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius. Nesudėtingais atv...
| Pasiekimų sritis | Slenkstinis lygis | Patenkinamas lygis | Pagrindinis lygis | Aukštesnysis lygis |
|---|---|---|---|---|
| A1. Natūralieji ir sveikieji skaičiai (1-2 kl.) | Skaičiuoja nuo 0 iki 100 | Nagrinėja skaičius iki 1000 | Supranta triženklio skaičiaus sandarą | - |
| Šaknys (III-IV gimnazijos klasės) | Apibendrina laipsnio sąvoką | Pertvarko reiškinius su šaknimis | Pagrindžia laipsnių savybes | - |
| A2. Panašumų ir skirtumų nustatymas | Paprastais atvejais nustato panašumus/skirtumus | Nesudėtingais atvejais nustato panašumus/skirtumus | - | - |
tags: #priklausomybes #zenklas #matematika #alt